[institut] 15. mart 2023 u 18:00

[Odeljenje za mehaniku]

Одељење за механику

Среда 15.март 2023 у 18 часова
Никола Мутавџић, Математички институт САНУ

Оцене градијента за функције добијене уопштеним репрезентацијама
Пуасоновог типа

Разматрамо оцене градијента за хармонијска и хармонијска квазиконформна
пресликавања, као и за хармонијске функције у односу на фамилију метрика,
међу којима је и хиперболичка метрика. Као мотивација за ово истраживање,
приказани су неки нови резултати који говоре о Липшиц-непрекидности
квазиконформ-них пресликавања, која задовољавају Лаплас-Градијентну
неједнакост. Прецизније, пре-сликавања која разматрамо су решења
Дирихеловог проблема за Пуасонову једначину и представљају уопштење
хармонијских пресликавања. Осим лопте, посматране су уопш-тене области у
којима су дефинисана решења Дирихлеовог проблема, а такође и уоп-штени
кодомени. Најављени су нови резултати, који су формулисани за области C1,α
глаткости, и на домену и на кодомену.

Поред представљања главних резултата, дат је преглед општих појмова из
диферен-цијалне геометрије са подсећањем на својства хиперболичке
геометрије у n-димензионој лопти. Такође су наведене особине хармонисјких
и субхармониских функција у односу на хиперболичку метрику, који су
аналогни неким класичним резултатима из хармонијских функција и Хардијеве
теорије. Испоставило се да постоји разлика у понашању градијента
хиперболичких хармонијских функција у односу на еуклидски хармонијске
функције. Сличан закључак и за фамилију Tα хармонијских функција. Заправо,
добија се да су решења Дирихлеовог проблема за Tα хармонијске функције
Липшиц-непрекидна када је гранична функција Липшиц-непрекидна. Овако нешто
не важи за хармонијске функције. Такође је разматрано својство
Хелдер-непрекидности решења Дирихлеовог проблема за Пуасонову једначину у
случајевима еуклидске и хиперболичке метрике.

Представљене су верзије Шварцове леме на граници за плурихармонијска
пресликавања у Хилбертовим и Банаховим просторима. Ови резултати су
последице верзије Шварцове леме за хармонијска пресликавања из јединичног
диска у интервал (−1, 1) са изостављеном претпоставком да се тачка z = 0
слика у себе. Такође, приказана је верзија Шврцове леме на граници за
хармонијска пресликавања из лопте у лопту, не обавезно истих димензија. У
доказу је коришћена верзија Шварцове леме за функицје више променљивих,
којим се првим бавио Бургет. То уопштење је изведено интеграцијом
Пуасоновог језгра по тзв. поларним капама. И у овом случају је изостављена
претпоставка да се тачка z = 0 слика у себе, што представља уопштење
резултата до којег је недавно дошао Д. Калај. На крају овог поглавља,
доказано је да се аналоган резултат не може формулисати у случају
хиперболички хармонијских пресликавања. Ова чиње-ница се може протумачити
и као доказ да се Хопфова лема не може фомулисати за хиберболички
хармонијске функције.

Међу различитим верзијама Шварцове леме, изучаване су оцене модула за
класе холоморфних функција f на јединичном диску, чији индекс If испуњава
одговоарајуће геометријске особине. Ове класе су уопштење звездастих и
α-звездастих функција, које је претходно изучавао Б. Н. Орнек. Испитивањем
доказа ових специјалних случајева представљен је метод који се базира на
примени Џекове леме, и који се може применити у одређеним општијим
ситуацијама. Као пример изведене су оштре оцене модула холо-морфне
функције f чији индекс If као кодомен има вертикалну траку, као и модула
извода функције f у тачки z = 0. Дата је и оцена раста модула холоморфних
функција на диску U, које сликају тачку z = 0 у себе и чији је кодомен
вертикална трака.


_____________________________________________________________

Предавања се одржавају у сали 301ф Математичког института
САНУ, III спрат, Кнез Михаилова 36, и намењена су ширем кругу слушалаца,
укључујући студенте редовних и докторских студија.
_________

Управник Одељења за механику
др Божидар Јовановић

Секретар Одељења за механику
Маријана Бабић