[QGHG-it-dev-list] Zadatak 10 - (Igor, Tijana) potencijal za embedding triangulacije

[Igor Salom]

Ok, evo trivijalno potpitanje, da vidim sta propustam:

Elem, zar nije prirodnije/najprostije, kad si vec i sam pomenuo oprugu, 
da se uzme pravi potencijal opruge, tj koji je i privlacan i odbojan, tj:

V(x_i,y_i) = \sum_edge const_1 (L_edge - const_2)^2

gde const_2 ocito ima fizicki smisao ravnotezne duzine opruge? To, bar 
kao formula, deluje prostije (i zadrzis se na nivou edge-ova) - je li 
ima neki argument kako vidis da je je to losije resenje?

Poz!


On 14.2.22. 07:25, Marko Vojinovic wrote:
>
> Ovo je vise problem iz fizike nego iz programiranja, ali eto sad...
>
> Metod za crtanje simplicijalnog kompleksa na ekranu bazira se na 
> odredjivanju koordinata za vertekse u globalnom Euklidskom prostoru u 
> koji se embed-uje dati kompleks. Koordinate se odredjuju tako sto se 
> verteksi kompleksa tretiraju kao cestice sa nekim interakcijama u 
> nekom potencijalu, i onda algoritam iterativno aproksimira polozaje 
> cestica koje odgovaraju minimumu tog potencijala.
>
> Drugim recima, npr. za slucaj 2D triangulacija i embed-ovanja u ravni 
> R^2, treba osmisliti izraz za potencijalnu energiju N-cesticnog 
> sistema V(x_i,y_i), gde i=1,...,N, koji ce da stavi cestice u neki 
> ravnotezni polozaj. Jedan predlog koji mi je pao na pamet je da 
> stavimo dvocesticu privlacnu interakciju (oprugu) na svaki edge u 
> kompleksu, i trocesticnu odbojnu interakciju (naduvani balon) u svaki 
> trougao, otprilike ovako:
>
>    V(x_i,y_i) = \sum_edge const_1 (L_edge)^2 + \sum_triangle const_2 / 
> A_triangle,
>
> gde je L_edge(x,y) duzina edge-a izmedju date dve cestice, dok je 
> A_triangle(x,y) povrsina kruga upisanog u trougao sa date tri cestice. 
> Prvi clan je minimalan kada je rastojanje nula, tj. kada sve cestice 
> kolapsiraju u jednu tacku. Drugi clan je minimalan kada su povrsine 
> upisanih krugova beskonacne, pa samim tim i rastojanja izmedju 
> cestica. Kada imamo oba clana, intuicija je da potencijal ima minimum 
> za neku konfiguraciju "izmedju" ova dva granicna slucaja (ako su obe 
> konstante interakcija pozitivne).
>
> Zadatak je dakle sledeci --- ispitati da li N cestica sa ovakvim 
> interakcijama uvek imaju ravnotezno stanje, tj. da li ovaj potencijal 
> ima globalni izolovani minimum za neke vrednosti koordinata x_i,y_i, 
> za svako N. Takodje, razmislite koji drugi mehanicki sistem bi zgodno 
> radio ovaj posao (tako da se cestice nikad ne sudaraju), tj. osmislite 
> i predlozite jos neki, drugaciji predlog potencijala --- sve sile i 
> interakcije su dozvoljene (gravitacija, elektrostatika, opruge, zice, 
> lopte i baloni, ovo, ono, stagod vam padne na pamet). Samo budite 
> sigurni da postoji globalni minimum za konacne vrednosti svih 
> koordinata. Bonus poeni ako potencijal moze lako da se uopsti sa ravni 
> R^2 na n-dim Euklidski prostor R^n, i ako ima mali broj 
> kapling-konstanti.
>
> Btw, ovo mozda moze da se nacrta u Mathematici za neki jednostavan 
> izbor grafa, da vidimo kako bi izgledali polozaji tih cestica ili sl. 
> Recimo, za 4 cestice na grafu sa dva trougla spojena duz jedne ivice, 
> ovako napamet mi se cini da ce gornji potencijal da rasporedi cestice 
> u dva jednakostranicna trougla. Ali za komplikovaniji izbor grafa 
> nisam siguran da postoji minimum, i nisam siguran da je jednoznacan 
> --- gornji potencijal cak ima translacionu i rotacionu invarijantnost, 
> kojih bi takodje trebalo da se otarasimo nekim globalnim spoljasnjim 
> poljem koje ce da narusi te simetrije. Npr ako stavimo sve u neku 
> fiksiranu potencijalnu jamu ili nesto...
>
> Razmislite pa javite, sve ideje i predlozi su dobrodosli. ;-)
>
> :-)
> Marko
>
>
> Dr. Marko Vojinovic
> Group for Gravitation, Particles and Fields
> Institute of Physics
> University of Belgrade
> ======================
> home page: www.markovojinovic.com
> e-mail: vmarko at ipb.ac.rs
>
>
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://mail.ipb.ac.rs/pipermail/qghg-it-dev-list/attachments/20220214/5ef6b9d4/attachment.htm>